問題

Note: まとめて合成するか？1体ずつ合成するか？期待値と分散と同一の問題です。

パズドラのようにモンスターを強化するために他のモンスターを合成するゲームに関する問題です。簡単のため、以下のモデルについて考察します。

強化対象のモンスターをAとします
Aに合成されるモンスターはすべて同一種類のモンスターであり、それをBとします
あなたはBを30体所持しています
一度の合成で合成可能なBの最大数は5です
一度の合成について、確率0.6でその合成は大成功します。確率0.4でその合成は成功します
各合成が大成功するか成功するかは独立に判定されます
所持しているBが0体になるまで、あなたはAにBを合成できます（合成回数に制限は存在しません）
Aに経験値の上限は存在しません

このモデルの肝は「30体所持しているBをどのように分割してAに合成するか」です。

考察

1体ずつ合成する場合の確率分布、2体ずつ合成する場合の確率分布、3体ずつ合成する場合の確率分布、4体ずつ合成する場合の確率分布、5体ずつ合成する場合の確率分布について考察します。

準備

以下の記法を導入します。

: 体ずつ合成する場合に、大成功するBの数が体である確率とします
- $i$ が $k$ の倍数でない場合、 $f_k(i) = 0$ です

理論式

$30/k$ 回のベルヌーイ試行なので、 $f_k$ は二項分布のPMFとなります。

$f_k(ki) = {}_{30}C_i 0.6^{i} \cdot 0.4^{30/k - i}$

グラフ

理論式だけでは、イメージが湧きにくいので、Pythonで確率分布のグラフを描画します。

グラフを描画するPython スクリプト

グラフの描画にMatplotlibを使います。また、二項分布のPMFはscipy.stats.binomを用いて計算します。

$f_k$ のグラフを描画する関数を以下の通り定義します。

import numpy as np
from scipy.stats import binom
import matplotlib.pyplot as plt

M = 30
P = 0.6

def plot_dist(k):
  L = M // k
  x = np.arange(L + 1) * k
  y = binom.pmf(
      k=np.arange(L + 1),
      n=L,
      p=P
  )
  fig = plt.figure().subplots(1, 1)
  fig.plot(
      x,
      y,
      'bo',
      ms=8
  )
  fig.vlines(x, 0, y, colors='b', lw=5, alpha=0.5)
  plt.xlabel('大成功したBの数')
  plt.show()